用多因子模型构建强大的加密资产投资组合#大类因子分析：因子正交化篇#

书接上回，关于《用多因子模型构建强大的加密资产投资组合》系列文章中，我们已经发布了四篇：《理论基础篇》、《数据预处理篇》、《因子有效性检验篇》、《大类因子分析：因子合成篇》。

在上一篇中，我们具体解释了因子共线性（因子之间相关性较高）的问题，在进行大类因子合成前，需要进行因子正交化来消除共线性。

通过因子正交化，重新调整原始因子的方向，使他们相互正交（$$[\vec{f_i},\vec{f_j}]=0$$，即两个向量相互垂直），本质是对原始因子在坐标轴上的旋转。这种旋转不改变因子之间的线性关系也不改变原本蕴含的信息，并且新因子之间的相关性为零（内积为零等价于相关性为零），因子对于收益的解释度保持不变。

一、因子正交化的数学推导

从多因子截面回归角度，建立因子正交化体系。

每个截面上可以获得全市场token在各个因子上的取值，N代表截面上全市场token数量，K表示因子的数量，$$f^k=[f_1^k,f_2^k,...,f_N^k]'$$表示全市场token在第k个因子上的取值，并且已对每个因子进行了z-score归一化处理，即 $$\bar{f^k}=0, ||f^k||=1$$。

$$F_{N\times K}=[f^1,f^2,...,f^K]$$为截面上K个线性独立的因子列向量组成的矩阵，假设以上因子线性无关（相关性不为100%或-100%，正交化处理的理论基础）。

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因子矩阵\ F_{N\times K}
=\begin{vmatrix}
f_1^1 & f_1^2& \dots&f_1^K\
f_2^1 & f_2^2&\dots&f_2^K\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\
f_N^1 & f_N^2&\dots&f_N^K\
\end{vmatrix}（1）
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通过对$$Fₘₙ$$线性变换，得到一个新的因子正交矩阵$$F'ₘₙ = [fᵏ₁,fᵏ₂,……fᵏₙ]'$$ ，新矩阵的列向量相互正交，即任意两个新因子向量内积为零，$$\forall i,j,i\not=j,[(\tilde f^i)'\tilde f^j]=0$$。

定义一个从 $$F_{N\times K}$$旋转到$$\tilde{F}{N\times K}$$的过渡矩阵 $$S{K\times K}$$

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\tilde{F}{N\times K}=F{N\times K}\cdot S_{K\times K}(2)
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1.1 过度矩阵$$S_{K\times K}$$

以下开始求解过渡矩阵$$Sₖₖ$$，首先计算$$ Fₙₖ $$的协方差矩阵$$∑ₖₖ$$，则 $$Fₙₖ$$ 的重叠矩阵$$Mₖₖ=(N-1)∑ₖₖ$$，即

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重叠矩阵\ M_{K\times K}
=\begin{vmatrix}
(f^1)'(f^1)& (f^1)'(f^2)& \dots&(f^1)'(f^K)\
(f^2)'(f^1) & (f^2)'(f^2)&\dots&(f^2)'(f^K)\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\
(f^K)'(f^1) & (f^K)'(f^2)&\dots&(f^K)'(f^K)\
\end{vmatrix}
(3)
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旋转后的$$\tilde{F}_{N\times K}$$是正交矩阵，根据正交矩阵的性质 $$AA^T=I$$，则有

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\begin{aligned}
(\tilde{F}{N\times K})'\tilde{F}{N\times K}&=(F_{N\times K}S_{K\times K})'F_{N\times K}S_{K\times K}\
&=S_{K\times K}'F_{N\times K}'F_{N\times K}S_{K\times K}\
&=S_{K\times K}'M_{K\times K}S_{K\times K}\
&=I_{K\times K}
\end{aligned}
(4)
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所以，

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S_{K\times K}'S_{K\times K}=M_{K\times K}^{-1}
(7)
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满足该条件的 $$Sₖₖ$$ 即为一个符合条件的过渡矩阵。上面公式的通解为：

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S_{K\times K}=M_{K\times K}^{-1/2}C_{K\times K}(8)
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其中，$$C_{K\times K}$$ 为任意正交矩阵

1.2对称矩阵$$M_{K\times K}^{-1/2}$$

下面开始求解 $$M*{K\times K}^{-1/2}$$，因为 $$M*{K\times K}$$ 是对称矩阵，因此一定存在一个正定矩阵 $$U_{K\times K}$$ 满足：

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U_{K\times K}'M_{K\times K}U_{K\times K}=D_{K\times K}(9)
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其中，

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D_{K\times K}=\begin{vmatrix}
\lambda_1& 0& \dots&0\
0 & \lambda_2&\dots&0\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\
0 &0&\dots&\lambda_K\
\end{vmatrix}
(10)
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$$U*{K\times K},D*{K \times K}$$ 分别为 $$M*{K\times K}$$ 的特征向量矩阵和特征根对角矩阵，并且 $$U*{K\times K}'=U_{K\times K}^{-1},\forall k,\lambda_K>0$$。由公式（13）可得

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\begin{aligned}
M_{K\times K}&=U_{K\times K}D_{K\times K}U_{K\times K}'\
M_{K\times K}^{-1}&=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1}U_{K\times K}'\
M_{K\times K}^{-1/2}M_{K\times K}^{-1/2}&=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}I_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'\
\end{aligned}
(11)
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由于 $$M*{K\times K}^{-1/2}$$ 是对称矩阵，且 $$U*{K\times K}U*{K\times K}'=I*{K\times K}$$，可基于上式得到 $$M_{K\times K}^{-1/2}$$ 的一个特解为：

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\begin{aligned}
M_{K\times K}^{-1/2}M_{K\times K}^{-1/2}&=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'\
M_{K\times K}^{-1/2}&=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'
\end{aligned}(12)
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其中

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D_{K\times K}^{-1/2}=\begin{vmatrix}
1/\sqrt{\lambda_1}& 0& \dots&0\
0 & 1/\sqrt{\lambda_2}&\dots&0\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\
0 &0&\dots&1/\sqrt{\lambda_K}\
\end{vmatrix}（13）
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将 $$M_{K\times K}^{-1/2}$$ 的解带入公式（6）可求的过渡矩阵：

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\begin{aligned}
\color{brown}S_{K\times K}&=M_{K\times K}^{-1/2}C_{K\times K}\
&=\color{brown}U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'C_{K\times K}
\end{aligned}（14）
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其中，$$C_{K\times K}$$ 为任意正交矩阵。

根据公式（12），任何一种因子正交都可以转化为选择不同的正交矩阵 $$C_{K\times K}$$ 对原始因子进行旋转。

1.3消除共线性主要用到3种正交方法

1.3.1 施密特正交

故，$$S*{K\times K}$$ 为上三角矩阵，$$C*{K\times K}=U*{K\times K}D*{K\times K}^{-1/2}U*{K\times K}'S*{K\times K}$$

1.3.2 规范正交

故，$$S_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}$$ ，$$C_{K\times K}= U_{K\times K}$$

1.3.3 对称正交

故，$$S_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'$$，$$C_{K\times K}=I_{K\times K}$$

二、三种正交方法的具体实现

1.施密特正交

有一组线性无关的因子列向量 $$f^1,f^2,...,f^K$$，可以逐步的构造出一组正交的向量组 $$\tilde{f}^1,\tilde{f}^2,...,\tilde{f}^K$$，正交后的向量为：

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\begin{aligned}
\tilde{f}^1 &= f^1\
\tilde{f}^2 &= f^2-\frac{[f^2,\tilde{f}^1]}{[\tilde{f}^1,\tilde{f}^1]}\tilde{f}^1\
\tilde{f}^3 &= f^3-\frac{[f^3,\tilde{f}^1]}{[\tilde{f}^1,\tilde{f}^1]}\tilde{f}^1-\frac{[f^3,\tilde{f}^2]}{[\tilde{f}^2,\tilde{f}^2]}\tilde{f}^2\
\dots&=\dots\
\tilde{f}^k &= f^k-\frac{[f^k,\tilde{f}^1]}{[\tilde{f}^1,\tilde{f}^1]}\tilde{f}^1-\frac{[f^k,\tilde{f}^2]}{[\tilde{f}^2,\tilde{f}^2]}\tilde{f}^2-\dots-\frac{[f^k,\tilde{f}^{k-1}]}{[\tilde{f}^{k-1},\tilde{f}^{k-1}]}\tilde{f}^{k-1}\
\end{aligned}（15）
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并对 $$\tilde{f}^1,\tilde{f}^2,...,\tilde{f}^K$$ 进行单位化后：

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e^k=\frac{\tilde{f}^k}{||\tilde{f}^k||},(k=1,2,\dots,k)（16）
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经过以上处理，得到一组标准正交基。由于 $$e^1,e^2,\dots,e^K$$ 与 $$f^1,f^2,...,f^K$$ 等价，二者可以相互线性表示，即 $$e^k$$是 $$f^1,f^2,...,f^k$$ 的线性组合，有 $$e^k=\beta_1^kf^1+\beta_2^kf^2+...+\beta_k^kf^k$$，因此对应于原矩阵 $$F*{K\times K}$$ 的过渡矩阵$$S*{K\times K}$$ 为一个上三角矩阵，形如：

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S_{K\times K}=\begin{vmatrix}
\beta_1^1& \beta_1^2& \dots&\beta_1^K\
0 & \beta_2^2&\dots&\beta_2^K\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\
0 &0&\dots&\beta_K^K\
\end{vmatrix}（17）
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其中 $$\beta_k^k=\frac{1}{||\tilde{f}^k||}>0$$。基于公式（17），施密特正交选取的任意正交矩阵为：

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C_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'S_{K\times K}（1）
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施密特正交是一种顺序正交方法，因此需要确定因子正交的顺序，常见的正交顺序有固定顺序（不同截面上取同样的正交次序），以及动态顺序（在每个截面上根据一定规则确定其正交次序）。施密特正交法的优点是按同样顺序正交的因子有显式的对应关系，但是正交顺序没有统一的选择标准，正交后的表现可能受到正交顺序标准和窗口期参数的影响。

# 施密特正交化
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt
Schmidt = GramSchmidt(f.apply(lambda x: Matrix(x),axis=0),orthonormal=True)

f_Schmidt = pd.DataFrame(index=f.index,columns=f.columns)
for i in range(3):
    f_Schmidt.iloc[:,i]=np.array(Schmidt[i])
res = f_Schmidt.astype(float)

2.规范正交

选取正交矩阵 $$C_{K\times K}=U_{K\times K}$$，则过渡矩阵为：

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S_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'U_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}（2）
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其中 $$U*{K\times K}$$ 为特征向量矩阵，用于对因子旋转，$$D*{K\times K}^{-1/2}$$ 为对角矩阵，用于对旋转后因子的缩放。此处的旋转与不做降维的PCA一致。

# 规范正交
def Canonical(self):
  overlapping_matrix = (time_tag_data.shape[1] - 1) * np.cov(time_tag_data.astype(float))
  # 获取特征值和特征向量
  eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(overlapping_matrix)
  # 转换为np中的矩阵
  eigenvector = np.mat(eigenvector)
  transition_matrix = np.dot(eigenvector, np.mat(np.diag(eigenvalue ** (-0.5))))
  orthogonalization = np.dot(time_tag_data.T.values, transition_matrix)
  orthogonalization_df = pd.DataFrame(orthogonalization.T,index = pd.MultiIndex.from_product([time_tag_data.index, [time_tag]]),columns=time_tag_data.columns)
  self.factor_orthogonalization_data = self.factor_orthogonalization_data.append(orthogonalization_df)

3.对称正交

施密特正交由于在过去若干个截面上都取同样的因子正交顺序，因此正交后的因子和原始因子有显式的对应关系，而规范正交在每个截面上选取的主成分方向可能不一致，导致正交前后的因子没有稳定的对应关系。由此可见，正交后组合的效果，很大一部分取决于正交前后因子是否有稳定的对应关系。

对称正交尽可能的减少对原始因子矩阵的修改而得到一组正交基。这样能够最大程度地保持正交后因子和原因子的相似性。并且避免像施密特正交法中偏向正交顺序中靠前的因子。

选取正交矩阵 $$C_{K\times K}=I_{K\times K}$$，则过渡矩阵为：

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S_{K\times K}=U_{K\times K}D_{K\times K}^{-1/2}U_{K\times K}'（1）
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对称正交的性质：

与施密特正交相比，对称正交不需要提供正交次序，对每个因子是平等看待的
在所有正交过渡矩阵中，对称正交后的矩阵和原始矩阵的相似性最大，即正交前后矩阵的距离最小。

# 对称正交
def Symmetry(factors):
    col_name = factors.columns  
    D, U = np.linalg.eig(np.dot(factors.T, factors))  
    U = np.mat(U)
    d = np.diag(D**(-0.5))
    S = U*d*U.T 
    #F_hat = np.dot(factors, S) 
    F_hat = np.mat(factors)*S 
    factors_orthogonal = pd.DataFrame(F_hat, columns=col_name, index=factors.index)  
    return factors_orthogonal
res = Symmetry(f)

关于LUCIDA & FALCON

Lucida （https://www.lucida.fund/ ）是行业领先的量化对冲基金，在2018年4月进入Crypto市场，主要交易CTA / 统计套利 / 期权波动率套利等策略，现管理规模3000万美元。

Falcon （https://falcon.lucida.fund /）是新一代的Web3投资基础设施，它基于多因子模型，帮助用户“选”、“买”、“管”、“卖”加密资产。Falcon在2022年6月由Lucida所孵化。

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